Галлямов

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное

учреждение высшего образования

«Уфимский государственный нефтяной технический университет»

Кафедра «Технологические машины и оборудование»

Реферат

на тему: «Уравнение параболического типа.

Вывод уравнения теплопроводности (одномерный случай)»

Выполнил студ. гр. ММП21з-16-01 А.А. Алимтаев

Проверил доцент, к.т.н. А.А. Галлямов

Уфа 2016

Содержание

Введение ………………………………………………………………………..

3

1 Уравнение параболического типа. Основные уравнения………………….

4

2 Вывод уравнения теплопроводности для одномерного случая……………

5

3 Частные случаи уравнения теплопроводности………………………..........

10

4 Начальные и граничные условия…………………………………………….

11

Список использованных источников………………………………………….

15

ВВЕДЕНИЕ

Уравнение диффузии или уравнение теплопроводности представляет собой частный вид дифференциального уравнения в частных производных. Бывает нестационарным и стационарным.

Математически уравнение диффузии и уравнение теплопроводности не различаются, и применение того или иного названия ограничено только конкретным приложением, причем второе представляется более частным, так как можно говорить, что в этом случае речь идет о диффузии тепловой энергии.

В смысле интерпретации при решении уравнения диффузии речь идет о нахождении зависимости концентрации вещества (или иных объектов) от пространственных координат и времени, причем задан коэффициент (в общем случае также зависящий от пространственных координат и времени), характеризующий проницаемость среды для диффузии. При решении уравнения теплопроводности речь идет о нахождении зависимости температуры среды от пространственных координат и времени, причем задана теплоемкость и теплопроводность среды (также в общем случае неоднородной).

Физически в том и другом случае предполагается отсутствие или пренебрежимость макроскопических потоков вещества. Таковы физические рамки применимости этих уравнений. Также, представляя непрерывный предел указанных задач (то есть не более, чем некоторое приближение), уравнение диффузии и теплопроводности в общем не описывают статистических флуктуаций и процессов, близких по масштабу к длине и времени свободного пробега, также весьма сильно отклоняясь от предполагаемого точного решения задачи в том, что касается корреляций на расстояниях, сравнимых (и больших) с расстояниями, проходимыми звуком (или свободными от сопротивления среды частицами при их характерных скоростях) в данной среде за рассматриваемое время.

Это в подавляющей части случаев сразу же означает и то, что уравнения диффузии и теплопроводности по области применимости далеки от тех областей, где становятся существенными квантовые эффекты или конечность

скорости света, то есть в подавляющей части случаев не только по своему выводу, но и принципиально, ограничиваются областью классической ньютоновской физики.

1 Уравнение параболического типа. Основные уравнения

Уравнения параболического типа наиболее часто встречаются при изучении процессов теплопроводности и диффузии. К этим уравнениям приводятся также задачи о движении вязкой жидкости, например, нефти.

Обсудим процесс распространения тепла в неравномерно нагретом твердом теле. Если тело нагрето неравномерно, то в нем происходит передача тепла из мест с более высокой температурой в места с более низкой температурой. Процесс может быть описан функцией u = u (x, y, z, t) дающей температуру u в каждой точке M (x, y, z) тела и в любой момент времени t .

Примем следующую модель процесса: происходит механический перенос тепла от более нагретых частей тела к менее нагретым; все тепло идет на изменение температуры тела; свойства тела от температуры не зависят. Идеализация явления состоит в том, что мы будем изучать процесс, не касаясь его молекулярной природы, а также иных проявлений. Опишем процесс математически для одномерного тела.

2 Вывод уравнения теплопроводности для одномерного случая

Рассмотрим однородный стержень длины l, теплоизолированный с боков (через поверхность не происходит теплообмена с окружающей средой) и достаточно тонкий, чтобы в любой момент времени температуру во всех точках поперечного сечения можно было считать одинаковой. Расположим ось Ox так, чтобы один конец стержня совпадал с точкой x = 0, а другой - с точкой x = l (рис. 1).

Рисунок - 1

Чтобы найти функцию uux, t, надо составить дифференциальное уравнение, которому она удовлетворяет.

При выводе дифференциального уравнения теплопроводности воспользуемся следующими физическими закономерностями, связанными с распространением тепла.

1.Количество тепла Q, которое необходимо сообщить однородному телу, чтобы повысить его температуру на u , равно

ΔQ = cmΔu,

где c - удельная теплоемкость, m - масса тела.

Для стержня имеем

ΔQ = cρSΔxΔu, (1)

где ρ - плотность материала стержня; S - площадь его поперечного сечения.

2.Перенос тепла в теле подчиняется эмпирическому закону Фурье количество тепла ΔQ, протекающее за время Δt через площадку ΔS в направлении нормали к этой площадке, равно

где k - коэффициент внутренней теплопроводности (зависит от точки и не зависит от направления, если тело изотропно).

Для стержня имеем

,(2)

где коэффициент k будем считать постоянным в силу предположения о его однородности. Если стержень неоднороден, то k = k(x).

3.Если внутри тела есть источники тепла, то выделение тепла можно характеризовать плотностью тепловых источников, т.е. количеством выделяемого (или поглощаемого) тепла в единицу времени в единице объема.

Обозначим через F (x, t), плотность источников в точке x рассматриваемого стержня в момент t. Тогда в результате действия этих источников на участке (x, x +Δx) за промежуток Δt будет выделено количество тепла

(3)

И, наконец, воспользуемся законом сохранения энергии.

Итак, приступим к выводу уравнения. Выделим элементарный участок стержня, заключенный между сечениями x = x1 и x = x2 (x2 - x1 = Δx), и составим уравнение теплового баланса на отрезке [x1, x2]. Так как боковая поверхность стержня теплоизолирована, то элемент стержня может получать тепло только через поперечные сечения. Согласно (2) количество тепла, прошедшее через сечение x = x1, равно

через сечение x = x2:

Найдем приток тепла в элемент стержня:

(К разности частных производных применена теорема Лагранжа).

Кроме того, в результате действия внутренних источников тепла на этом участке в течение времени Δt выделится количество тепла согласно (3)

Все тепло за время Δt пойдет на изменение температуры выделенного элемента стержня на величину Δu .И поэтому сообщенное количество тепла ΔQ , с другой стороны, может быть найдено согласно формуле (1):

В силу закона сохранения энергии имеем равенство

Сокращая на общий множитель SΔxΔt , получим уравнение

Введя обозначения , придем к уравнению

(4)

Это и есть искомое дифференциальное уравнение распространения тепла в однородном стержне. Уравнение (4) называют уравнением теплопроводности, в котором постоянную a² температуропроводности. Коэффициент a² называют коэффициентом имеет размерность м² /с.

Уравнение (4) является линейным неоднородным уравнением параболического типа.

Вывод дифференциального уравнения распространения тепла внутри тела, отнесенного к пространственной системе координат, основан на тех же физических законах. Поэтому, ограничившись выводом уравнения для простейшего случая – одномерного, лишь приведем уравнение для трехмерного пространства.

Процесс распределения температуры u = u (x, y, z, t) в изотропном теле описывается уравнением

которое кратко записывается так:

(6)

где - оператор Лаплас

3 Частные случаи уравнения теплопроводности

1.Распространениетеплабез тепловыделения.Есливнутри рассматриваемой области нет источников тепла, т.е. f = 0, то уравнение (6) принимает более простой вид:

(7)

Уравнение (7) называется уравнением свободного теплообмена.

2. Установившийсяпотоктепла. Для стационарного процесса теплообмена, т.е. когда температура в каждой точке тела не меняется со временем (, уравнение приобретает форму уравнения Пуассона:

Δu = -ρ,(8)

где ρ

3.Установившийся поток тепла без тепловыделения. В этом случае и f = 0, поэтому распределение температуры подчиняется уравнению Лапласа:

Δu = 0(9)

С помощью уравнения (9) можно ответить на вопрос: каково должно быть распределение температуры u = u (x, y, z) внутри тела, чтобы дальнейшего теплообмена не происходило. Поясним: последнее возможно, если на границе области поддерживать постоянную температуру (различную в различных точках границы). Но это уже связано с вопросом о граничных и начальных условиях, к которому мы и переходим.

4Начальное и граничные условия

Чтобы определить температуру внутри тела в любой момент времени, недостаточно одного уравнения (6). Необходимо, как следует из физических соображений, знать еще распределение температуры внутри тела в начальный момент времени (начальное условие) и тепловой режим на границе тела (граничное условие).

Начальное условие в отличие от уравнения гиперболического типа задается только одно, т.к. исходное уравнение содержит лишь первую производную по времени.

Граничные или краевые условия могут быть различны в зависимости от температурного режима на границе тела. Основными видами тепловых режимов являются следующие: I – на границе поддерживается определенная температура; II – на границу подается определенный тепловой поток; III – происходит теплообмен с внешней средой, температура которой известна. Им соответствуют граничные условия первого, второго, третьего рода.

Сформулируем прежде условия для одномерного уравнения теплопроводности.

Начальное условие состоит в задании функции u = u (x, t) в начальный момент времени (t = 0):

u (x,0) = (10)

Выведем граничные условия в случаях I – III.

1.На концах стержня (или на одном конце) задается температура

(t) (11)

где - функции, заданные в некотором промежутке причем T есть промежуток времени, в течении которого изучается процесс. В частности, т.е. на концах поддерживается постоянная температура и .

2.На одном из концов (или на обоих) задано значение производной искомой функции. Например, для сечения x = 0

(12)

Дадим физическое толкование этому условию. Пусть t) – величина теплового потока, т.е. количество тепла, протекающего через торцевое сечение x = 0 в единицу времени. Тогда уравнение теплового баланса для элемента стержня (0; Δx) в период времени t, как и при выводе уравнения (4) запишется в виде

Сократив на Δt и перейдя к пределу при Δx 0 , получим

Таким образом, имеем условие (12), в котором известная функция выражающаяся через заданный поток тепла по формуле

Аналогично для сечения x = 1 через которое протекает количество тепла , найдем

Следовательно, условие или имеет место в случае, когда на соответствующем конце стержня задан тепловой поток, втекающий или вытекающий. В частности, если концевое сечение теплоизолировано, то (t) = 0 или (t) = 0 , и следовательно,

= 0 или

3.На одном из концов (или на обоих) задается линейное соотношение между функцией и ее производной. Например, для сечения x =l

(13)

Условие типа (13) используется в случае процесса теплоотдачи, т.е. переноса тепла от тела к окружающей среде. Закон теплообмена сложен; но для упрощения задачи он может быть принят в виде закона Ньютона. Согласно эмпирическому закону Ньютона количество тепла, отдаваемого в единицу времени с единицы площади поверхности тела в окружающую среду, температура которой известна, пропорционально разности температур поверхности тела и окружающей среды:

q =α(u –θ),

где α - коэффициент теплообмена (или внешней теплопроводности).

Можно определить тепловой поток через сечение стержня, воспользовавшись двумя выражениями в cилу закона сохранения энергии.

Согласно закону Ньютона тепловой поток q(t), вытекающий через сечение

x = l , равен

q =α(u(l, t) –θ(t)).

С другой стороны, такой же тепловой поток должен подводиться изнутри путем теплопроводности. Поэтому согласно закону Фурье

Приравнивая правые части этих выражений, найдем

Отсюда получаем математическую формулировку условия в виде

, .

Заметим, что граничные условия, наложенные на значения функции u (x t), называют условиями первого рода. Граничные условия, наложенные на значение производной называют условиями второго рода. А условия, наложенные как на значение функции u (x, t), так и на значение производной , называют условиями третьего рода.

В случае граничных условий вида (11), (12), (13) говорят соответственно о первой, второй, третьей краевых задачах для уравнения теплопроводности. Начальное условие для всех указанных краевых задач остается тем же самым и дается равенством (10).

Так, первая краевая задача состоит в отыскании решения u = u (x, t) уравнения

при 0l, 0

удовлетворяющего условиям

u(x,0) = 0l,

u(0, t) = , 0

Аналогично ставятся другие краевые задачи с различными комбинациями граничных условий при x = 0 и x = l.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

1

Уравнения параболического типа и некоторые методы их решения

[Текст]: учеб. пособие / И. Ф. Чупров, Е. А. Канева. – Ухта: УГТУ, 2012. –

103 с.

2

Дифференциальные уравнения: УМК/ Р.Н. Бахтизин, А.П. Янчушка, Р.Я. Хайбуллин. – Уфа: УГНТУ, 2010. – 292 с.

Write a Reply or Comment

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *